Strukturierte Probleme in der Steuerungstheorie

Verschiedene Aufgaben in der Steuerungstheorie erfordern das numerische Lösen von Eigenwertproblemen, die eine spezielle Struktur haben. Typische solcher Strukturen sind Hamiltonisch oder symplektisch. Bei der Entwicklung schneller und zuverlässiger numerischer Methoden für solche Probleme sollte man die spezielle Struktur nutzen, in der Art wie es mit großem Erfolg für symmetrische lineare Probleme getan worden ist. Solche Verfahren sind wünschenswert, weil hiermit wichtige Eigenschaften des Ausgangsproblems während der praktischen Rechnung erhalten bleiben und nicht durch Rundungsfehler zerstört werden. Darüberhinaus ermöglichen sie im allgemeinen eine schnellere Berechnung als allgemeine Verfahren.

Dieses Projekt dient der Entwicklung und Implementierung von numerischen Methoden für großdimensionierte Steuerungsprobleme, wie sie etwa bei Stabilisierung dynamischer Systeme oder in der Simulation komplexer elektronischer Schaltungen auftreten. Bei den zugrundeliegenden Modellen handelt es sich um lineare Differential- oder Differenzengleichungen, welche durch Linearisierung oder durch finite Elemente- oder Differenzen-Diskretisierung partieller Differentialgleichungen entstehen. Steuerungen für solche Systeme lassen sich oft über die Lösung zugeordneter algebraischer Riccatigleichungen bzw. über Matrixeigenwertaufgaben mit Hamiltonischer oder symplektischer Struktur berechnen, die dabei dann typischerweise von großer Dimension sind. Bei algebraischen Riccatigleichungen handelt es sich um quadratische Matrixgleichungen der Form

(1) 0 = Q + A^T X + XA - X BR^{-1}B^TX  
bzw.

(2) X = Q + A^TXA - A^T XB (R + B^TXB)^{-1}B^T XA.  

Bei (1) spricht man von einer kontinuierlichen, bei (2) von einer diskreten algebraischen Riccatigleichung. Es wird angenommen, daß Q und R relle symmetrische n-x-n Matrizen sind. Gesucht ist eine relle symmetrische n-x-n Matrix X, die (1) oder (2) erfüllt. Je nach Problemstellung besitzt die gesuchte Lösung noch bestimmte Eigenschaften.

Für klein dimensionierte Probleme, also etwa n < 100, ist eine Vielzahl von Algorithmen zur Lösung obiger Probleme untersucht worden. Da sich die Lösung von (1) und (2) äquivalent umformulieren läßt in die Lösung des Hamiltonischen Eigenwertproblems

(3) H x = lambda x,  

wobei H eine 2n-x-2n Matrix mit den Blöcken H_{11} = A, H_{12} = BR^{-1}B^T, H_{21} = Q, H_{22} = -A^T ist,

bzw. das verallgemeinerte symplektische Eigenwertproblem

(4) L x = lambda M x,  

wobei L und M 2n-x-2n Matrizen mit den Blöcken L_{11} = A, L_{12} = 0, L_{21} = Q, L_{22} = I, M_{11} = I, M_{12} = -BR^{-1}B^T, M_{21} = 0, M_{22} = A^T sind,

handelt es sich bei den meisten dieser Algorithmen um Anwendungen bekannter Methoden zur Lösung von Eigenwertproblemen. Für steigende Dimension n des Problems treten bei diesen Algorithmen jedoch Konvergenz- bzw. Genauigkeitsprobleme auf.

Algebraische Riccatigleichungen der Formen (1), (2) treten in zahlreichen Problemstellungen der Steuerungstheorie auf, wie z.B. bei der Stabilisierung von dynamischen Systemen, der Berechnung von Kalman-Filtern, u.v.a.. Das Eigenwertproblem (3) tritt daneben auch bei der Berechnung des Stabilitätsradius von Matrizen und in Problemstellungen aus der Chemie auf.

Obwohl die Riccatigleichung häufig über die Berechnung des stabilen invarianten Unterraums der zugehörigen Hamiltonischen oder symplektischen Matrix, bzw. Matrizenschar gelöst wird, ist es immer noch eine offene Frage, ob es für diese Berechnung numerisch stabile, die Hamiltonische bzw. symplektische Struktur erhaltende Verfahren gibt. Solche Verfahren sind, wie schon erwähnt, wünschenswert, weil hiermit wichtige Eigenschaften des Ausgangsproblems während der praktischen Rechnung erhalten bleiben und nicht durch Rundungsfehler zerstört werden. Darüberhinaus ermöglichen sie im allgemeinen eine schnellere Berechnung als allgemeine Verfahren.

In den letzten Jahren sind im Zusammenhang mit der Lösung großer unsymmetrischer Gleichungssysteme stabilisierte Modifikationen des unsymmetrischen Lanczosverfahrens zur Tridiagonalisierung, die Look-ahead-Lanczosverfahren, entwickelt und untersucht worden. Sie scheinen die Stabilitätsprobleme für allgemeine unsymmetrische Matrizen durch ihre Quasi-Tridiagonalisierung weitestgehend zu beheben. Einen anderen Ansatz, die Stabilitätsprobleme des unsymmetrischen Lanczosverfahrens zur Tridiagonalisierung in den Griff zu bekommen, stellen sogenannte restarted Lanczos-Verfahren dar.

In diesem Projekt werden analog zu diesen verschiedenen Lanczos-Verfahren numerische Verfahren für großdimensionale Hamiltonische und symplektische Matrizen entwickelt und analysiert. Die Eigenschaften der dabei entstehenden Approximationen an Eigenwerte und invariante Unterräume der Hamiltonischen und symplektischen Ausgangsprobleme müssen untersucht werden, insbesondere im Hinblick auf ihre Eignung zur approximativen Berechnung von stabilisierenden Zustands- oder Ausgangsrückführung großer Regelungssysteme.

Heike Faßbender, Februar 1996.
Modifiziert: Peter Benner, August 1997.