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Computational Methods in Systems and Control Theory

Parallele numerische Lösung von Optimalsteuerungsproblemen für instationäre Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichungen

Teilprojekt A15 im SFB393 Parallele Numerische Simulation für Physik und Kontinuumsmechanik

Bearbeitet von: Prof. Dr. Peter Benner, Dipl. Math. Jens Saak

Schema Betrachtet werden Randwertaufgaben mit linearen partiellen Differentialgleichungen und Randkontrolle.

Bisherige Arbeiten:
In seiner Diplomarbeit hat Jens Saak sich mit der kontrollierten Abkühlung von Stahlprofilen während des Herstellungsprozesses am Beispiel eines Gleisprofils beschätigt. Dabei sollten unterschiedliche Bereiche der Profiloberfläche verschieden stark gekühlt werden können.

Als Ausgangspunkt für die Problemstellung aus Ingenieurssicht diente die Tatsache, dass eine gleichmäßige Temperaturverteilung über den Profilquerschnitt vor den letzten Walzvorgängen durch selektive Kühlung, gegenüber konventioneller Walzung ohne selektive Kühlung, gleichmäßigere mechanische Eigenschaften des Endproduktes bewirkt.

Film Mathematisch führt dieses Problem auf eine Optimalsteuerungsaufgabe mit Randkontrolle für eine (linearisierte) Wärmeleitungsgleichung. Die Variationsformulierung dieser Gleichung liefert ein linearquadratisches Optimalsteuerungsproblem in klassischer Form, welches im Gegensatz zur klassischen Theorie in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum formuliert ist. Dieses Problem kann nach Gibson 1979 mit einem Zustandsrückführungsansatz gelöst werden.

Für die numerische Umsetzung wird eine FEM-Semidiskretisierung im Raum vorgenommen. Dadurch ergibt sich ein LQR-Problem für eine gewöhnliche Differentialgleichung. Diese hat allerdings sehr große Dimension (>1000), wodurch zusätzliche Schwierigkeiten bei der numerischen Behandlung entstehen.

Weitere Informationen:

Hinweis:
Unsere Systemmatrizen sind Teil der Oberwolfach Model Reduction Benchmark Collection. Sie befinden sich hier.


©2018, Max-Planck-Gesellschaft, München
Jens Saak, jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de
31 August 2018