Minerva Logo of the MPG

Computational Methods in Systems and Control Theory


Forschungsaktivität ohne Förderung

Großskalige und nichtlineare Eigenwertprobleme




Projektleiter: Mitarbeiter: Laufzeit: Seit 2000

Projektbeschreibung:
Großskalige lineare und nichtlineare Eigenwertprobleme zählen zu den Hauptforschungsgebieten der modernen numerischen Mathematik. Um eine gewisse Anzahl an approximativen Eigenwerten und den zugehörigen Eigenvektoren zu erhalten werden für gewöhnlich iterative Verfahren benutzt.
Der Fokus dieses Projekts liegt dabei auf solchen iterativen Verfahren, die auf der Behandlung des Eigenwertproblems mit Newton artigen Methoden basieren. Dazu zählen, z.B., inverse- und Rayleigh-Quotienten-Iteration sowie die nah verwandten Jacobi-Davidson Verfahren.

Als Anwendung von besonderem Interesse untersuchen wir die Verwendung dieser Eigenwertalgorithmen in der Modellordnungsreduktion, was zur Berechnung von dominanten Polstellen von Übertragungsfunktionen linearer, zeit-invarianter Regelungssysteme führt. Diese dominanten Polstellen besitzen erheblichen Einfluß auf das Eingangs-Ausgang Verhalten des Systems und produzieren darüberhinaus klar erkennbare Peaks im Bode plot der Übertragungsfunktion, wie es auf den untenstehenden Bildern gezeigt ist.

Drei- und zweidimensionaler Blick auf die Spektralnorm der Übertragungsfunktion mit hervorgehobenen dominanten Eigenwerten.


Die folgenden Problemstellungen werden insbesondere untersucht:
  • Erweiterung und Anpassung existierender Verfahren auf nichtlineare Eigenwertprobleme, wobei der Schwerpunkt auf Algorithmen basierend auf dem zwei-seitigen und verallgemeinerten Jacobi-Davidson und verwandten Verfahren liegt.
  • Ausnutzung der Struktur bestimmter Klassen von nichtlineare Eigenwertproblem, z. B., polynomielle, rationelle, und Delay Eigenwertprobleme, da diese häufig in der Modelordnungsreduktion auftreten.
  • Effizienzsteigerung, sowohl im linearen als auch im nichtlinearen Fall, durch die inexakte Lösung der auftretenden linearen Gleichungssysteme mittels Krylov-Unterraum-Verfahren. Das beinhaltet auch die Ermittlung und Anwendung geeigneter Vorkonditionierer.
  • Anwendung dieser Eigenwertalgorithmen auf nichtlineare Eigenwertprobleme die in Naturwissenschaften außerhalb der Modellordnungsreduktion, z. B. Mechanik, Chemie, etc., auftreten.




Veröffentlichungen:

@article{FreKP18,
author = {Freitag,
M. and K{\"u}rschner,
P. and Pestana,
J.},
title = {GMRES convergence bounds for eigenvalue problems},
journal = CMAM,
year = 2018,
pages ="203-222" doi={10.1515/cmam-2017-0017},
volume=18,
number=2 }
GMRES convergence bounds for eigenvalue problems ;
Freitag, Melina; Kürschner, Patrick; Pestana, Jennifer;
Comput. Meth. Appl. Mat.  :  18(2), pp. 203-222;
2018.
@article {FreK14,
author = {Freitag,
Melina A. and K{\"u}rschner,
Patrick},
title = {Tuned preconditioners for inexact two-sided inverse and Rayleigh quotient iteration},
journal = {Numerical Linear Algebra with Applications},
issn = {1099-1506},
url = {http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nla.1945/},
doi = {10.1002/nla.1945},
pages = {175--196},
volume={22},
number={1},
year = {2014},
}
Tuned preconditioners for inexact two-sided inverse and Rayleigh quotient iteration;
Freitag, Melina; Kürschner, Patrick;
Numerical Linear Algebra with Applications  :  22(1), pp. 175--196;
2015.
@inproceedings{FreK13,
Title = {Inner-outer methods for large-scale two-sided eigenvalue problems},
Author = {Melina Freitag and Patrick K{\"u}rschner},
Booktitle = {Oberwolfach Report - Numerical Solution of PDE Eigenvalue Problems},
Pages = {86--89},
Year = {2013},
Volume = {56},
doi = {10.4171/OWR/2013/56} }
Inner-outer methods for large-scale two-sided eigenvalue problems;
Freitag, Melina; Kürschner, Patrick;
Numerical Solution of PDE Eigenvalue Problems  :  Oberwolfach Report 56/2013;
2013.
doi:10.4171/OWR/2013/56.
@INPROCEEDINGS{BenHK11,
author={Benner,
P. and Hochstenbach,
M.E. and K\"u rschner,
P.},
booktitle={Communications,
Computing and Control Applications (CCCA),
2011 International Conference on},
title={Model order reduction of large-scale dynamical systems with {J}acobi-{D}avidson style eigensolvers},
year={2011},
month={march},
volume={},
number={},
pages={1 -6},
doi={10.1109/CCCA.2011.6031208},
url={http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6031208} }
Model order reduction of large-scale dynamical systems with Jacobi-Davidson style eigensolvers;
Benner, Peter; Hochstenbach, Michiel; Kürschner, Patrick;
International Conference on Communications, Computing and Control Applications, 2011 (CCCA11)  :  
IEEE; 2011. ISBN/ISSN: 978-1-4244-9796-6
IEEE Catalog Number: CFP1154M-ART
DOI: 10.1109/CCCA.2011.6031208 .
@article{BenHK11,
author = {Benner,
P. and K\"urschner,
P. and Hochstenbach,
M.},
title = {{T}wo-sided harmonic subspace extractions for the generalized eigenvalue problem},
journal = {PAMM},
volume = {11},
number = {1},
publisher = {WILEY-VCH Verlag},
issn = {1617-7061},
url = {http://dx.doi.org/10.1002/pamm.201110359},
doi = {10.1002/pamm.201110359},
pages = {739--740},
year = {2011},
}
Two-sided harmonic subspace extractions for the generalized eigenvalue problem;
Benner, Peter; Hochstenbach, Michiel; Kürschner, Patrick;
Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics  :  Volume 11, Issue 1, pages 741–742, December 2011;
Wiley InterScience; 2011.
doi: 10.1002/pamm.201110359.
@MASTERSTHESIS{Kuer10,
author = {P. K\"urschner},
title = {Two-Sided Eigenvalue Methods for Modal Approximation},
school = {Chemnitz University of Technology,
Department of Mathematics,
Germany},
year = {2010},
owner = {kupa},
timestamp = {2010.07.16} }
Two-Sided Eigenvalue Methods for Modal Approximation;
Patrick Kürschner;
Chemnitz University of Technology; 2010.
Vorträge:

P. Kürschner
Inner-outer methods for large-scale two-sided eigenvalue problems,
Oberwolfach Workshop on Numerical Solution of PDE Eigenvalue Problems, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, November 17-23, 2013

P. Benner
The Symplectic Lanczos Process for Hamiltonian-Positive Matrices,
GAMM 84th Annual Scientific Conference, Novi Sad, Serbia, March 18-22, 2013

P. Kürschner
Solving inhomogeneous eigenvalue problems,
GAMM 84th Annual Scientific Conference, Novi Sad, Serbia, March 18-22, 2013

P. Kürschner
On inexact dominant pole based model truncation,
Bath Numerical Analysis Seminar, Bath, UK, Septermber 4, 2012
and GMA / GAMM Workshops, Anif, Austria, September, 17-21, 2012

P. Kürschner
Tuned preconditioners for inexact two-sided inverse and Rayleigh quotient iteration,
2012 SIAM Confernce on Applied Linear Algebra, Valencia, Spain, June 18-22, 2012
and 3rd IMA Conference on Numerical Linear Algebra and Optimisation, University of Birmingham, UK, September 10-12, 2012

P. Kürschner
Dominant pole computation of MIMO second order systems,
17th ILAS Conference,Braunschweig, August 22-26, 2011

P. Kürschner
Two-sided harmonic subspace extractions for the generalized eigenvalue problem,
GAMM 82nd Annual Scientific Conference, Graz, Austria, April 18-21, 2011

P. Kürschner
Model order reduction of large-scale dynamical systems with Jacobi-Davidson style eigensolvers,
2011 International Conference on Communications, Computing and Control Applications (CCCA’11),, Hammamet, Tunisia, March 3-5, 2011

P. Kürschner
Modern Numerical Methods for Large-Scale Eigenvalue Problems,
Welcome colloquium dedicated to Prof. Benner, Max Planck Institute Magdeburg, November 5, 2010





©2018, Max-Planck-Gesellschaft, München
Patrick Kürschner, kuerschner@mpi-magdeburg.mpg.de
05 Januar 2016