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Computational Methods in Systems and Control Theory


Projekt

Periodische Steuerungssysteme: Analyse, Effiziente Modellreduktion und Entwicklung numerischer Algorithmen

MPI finanziertes Projekt




Projektleiter: Mitarbeiter: Laufzeit: seit 09/2011

Projektbeschreibung:


Periodische Systeme sind in verschiedenen wissenschaftlichen und technischen Anwendungsgebieten, wie z.B. in der Luft- und Raumfahrttechnik, der Steuerung von industriellen Prozessen und Kommunikationssystemen, der Modellierung von periodischen zeitabhängigen Filtern und Netzwerken, der Wellenbewegung in peridiodischen Medien wie Atomen in einem optischen Gitter, bei parametrischen Resonanzphänomenen in Oszillatoren und bei nichtlinearen System, die um eine periodische Trajektorie linearisiert werden, von Bedeutung.


Bild 1: Bewegung des Satelliten TOPEX/Poseidon
(Quelle: http://sealevel.jpl.nasa.gov/missions/topex)

Bild 2: Philips SAA7220P/B digitaler Filter
(Quelle: http://www.marantzphilips.nl)

Bild 3: Ultrakalte Atome in einem optischen Gitter
(Quelle: http://en.wikipedia.org)


Die obigen Bilder zeigen Beispiele aus der Praxis, bei denen das mathematische Modell periodische Eigenschaften besitzt. Das linke Bild zeigt die periodisch kreisförmige Bewegung des Satelliten TOPEX/Poseidon. Er wurde 1992 als gemeinsames Projekt der NASA und CNES gestartet, um erstmalig die Wasserzirkulation der Ozeane durch Verteilung, Speicherung und Leitung von Wärme zu untersuchen. Die Flugbahn einer (starren) Raumsonde ist nichtlinear und kann durch Parametrisierungen beschrieben werden. Durch Linearisierung des Modells um das externe Torsionsmoment, das durch den Gravitationsgradienten, Aerodynamik und Solarstrahlung entsteht, erhält man ein lineares periodisches Modell [Lovera et al. '2002]. Das Bild in der Mitte zeigt einen digitalen Multiratenfilter. Das linearisierte Modell ist periodisch [P.P. Vaidyanathan'1990].

Das Bild in der Mitte zeigt einen digitalen Multiratenfilter. Das linearisierte Modell ist periodisch [P. P. Vaidyanathan '90]. Das rechte Bild zeigt die Wellenbewegung von Atomen in einem optischen Gitter. Ein optisches Gitter kann durch Interferenz von Laserstrahlen erzeugt werden. Es entsteht ein räumliches peridiodisches Polarisationsmuster, in dem ultrakalte Gase gefangen werden können. Das Einfangen von Gasen in einem künstlichen periodischen Potenzial kann zu innovativen Manipulations- und Steuerungsmethoden führen, um neue Strukturen zu erstellen. Dabei ist die mathematische Modellierung und Analyse von solchen periodischen Systemen entscheidend.

Periodische Systeme zu analysieren und numerische Modellreduktionsalgorithmen zu entwickeln ist das Ziel dieses Projekts. Dabei betrachten wir die beiden folgenden Fälle bei der Untersuchung periodischer Systeme und die Anwendbarkeit von Modellreduktion für Probleme aus verschiedenen Anwendungsgebieten.



  • Modellreduktion für periodische Deskriptorsysteme

    Der erste Teil dieses Projekts besteht darin, periodische Deskriptorsysteme sowohl im kontinuierlichen als auch im diskreten Fall zu analysieren. Simulation kann bei sehr großen Systemen zu aufwendig und zeitintensiv sein. In diesem Fall ist Modellreduktion ein effzientes Werkzeug, um ein sehr großes periodisches Modell durch ein kleineres zu ersetzen. Das kleinere Modell bewahrt das Verhalten zwischen Ein- und Ausgangswerten möglichst gut und kann effizienter analysiert werden. Die Entwicklung von numerischen Algorithmen für diese periodischen Deskriptorsysteme ist ein wichtiger Teil dieses Projektes. Es werden hauptsächlich projektionsbasierte Modellreduktionsverfahren verwendet.

    Wir entwickeln effiziente Implementationen von projektionsbasierten Krylov-Unterraum Verfahren für die Modellreduktion. Diese Verfahren werden auf Probleme, die bei der Linearisierung von nichtlinearen Schaltkreisen auftreten, angewendet. Die daraus resultierenden Modelle sind linear und periodisch. Die Effizienz und Genauigkeit der entwickelten Algorithmen wird anhand verschiedener Praxisbeispiele mit anderen Krylov basierten Projektionsmethoden gegenübergestellt.

    Balancierte Projektionstechniken werden bei der Modellreduktion für große dünnbesetzte lineare periodische diskret-zeitabhängige Deskriptorsysteme angewendet. Bei der Stabilitätsanalyse und in der Modellreduktion werden projizierte periodische Ljapunow Gleichungen behandelt und analytisch gelöst. Falls die entstehenden Systeme sehr groß sind, werden diese iterativ gelöst, z.B. durch ADI- und Smith Verfahren. Das Hauptaugenmerk bei den Iterationen ist die zyklische Struktur der Systemmatrizen zu erhalten. Unsere vorgeschlagenen Algorithmen analysieren die zyklische Struktur der Matrizen, die bei der iterativen Berechnung der periodischen Lösungen der projizierten zeitdiskreten periodischen Ljapunow Gleichung auftreten. Des Weiteren wird eine Version vorgestellt, die eine niedrig-Rang-Approximation der Lösung der projizierten periodischen Ljapunow Gleichung bietet. Eine Weiterentwicklung der Algorithmen ist in Arbeit.
  • Analyse von periodischen Systemen

    Der Fokus dieses Projekts liegt auf der Analyse von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die hier behandelten Systeme haben eine spezielle periodische Struktur. Im linearen Fall bedeutet das die Periodizität der Koeffizienten, d.h. das gewöhnliche Differenzialgleichungssystem hat die folgende Struktur ẋ = A(t)x, wobei A(t)=A(t+T) T-periodisch ist. Teil des Projekts ist sowohl das Berechnen von Schranken in geeigneten Normen mit vorgegebenen Eigenschaften als auch die Stabilitätsanalyse des Differenzialgleichungssystems. Dabei untersuchen wir die Stabilität der Lösung nahe einer Gleichgewichtslösung. Die Stabilität spielt bei der Modellierung dynamischer Systeme eine entscheidende Rolle.





Veröffentlichungen:

208Low-rank iterative methods of periodic projected Lyapunov equations and their application in model reduction of periodic descriptor systems
Benner, Peter; Hossain, Mohammad-Sahadet; Stykel, Tatjana;
2012.
Submitted.
206Structure Preserving Iterative Solution of Periodic Projected Lyapunov Equations;
Benner, Peter; Hossain, Mohammad-Sahadet;
2012.
Proceedings of MATHMOD conference, Vienna 2012. Will appear as IFAC online (preprint available from Conference website).
@PHDTHESIS{hossainTh2011,
author = {Hossain, Mohammad-Sahadet},
title = {Methods for Model Reduction of Time-Varying Descriptor Systems},
school = {Chemnitz University of Technology},
year = {2011},
type = {{P}h.{D}. thesis} }
Numerical Methods for Model Reduction of Time-Varying Descriptor Systems;
Hossain, Mohammad-Sahadet;
PhD Thesis; TU Chemnitz  :  
2011.

Vorträge:

Optimal bounds on the solution of linear time-periodic systems; AMS Sectional Meeting; Rochester, USA; 22. September 2012.





Poster:

Periodic Control Systems: Transient Analysis and Efficient Model Reduction
Evaluation vom Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer technischer Systeme Magdeburg; Magdeburg, Deutschland, 14. März 2012.



©2018, Max-Planck-Gesellschaft, München
Jens Saak, denissen@mpi-magdeburg.mpg.de
21 Oktober 2015