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Fachgruppe Computational Methods in Systems and Control Theory

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Forschungsaktivität ohne Förderung

Großskalige und nichtlineare Eigenwertprobleme




Projektleiter:
  • Prof. Dr. Peter Benner
    Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer technischer Systeme Magdeburg,
    Computational Methods in Systems and Control Theory,
    Sandtorstr. 1, 39106 Magdeburg
    Tel: +49 (0)391-6110-450
    E-mail: benner@mpi-magdeburg.mpg.de
Mitarbeiter:
  • Patrick Kürschner
    Max-Planck-Institut für Dynamik komplexer technischer Systeme Magdeburg,
    Computational Methods in Systems and Control Theory,
    Sandtorstr. 1, 39106 Magdeburg
    Tel: +49 (0)391-6110-424
    E-mail: kuerschner@mpi-magdeburg.mpg.de
Laufzeit: Seit 2000

Projektbeschreibung:
Großskalige lineare und nichtlineare Eigenwertprobleme zählen zu den Hauptforschungsgebieten der modernen numerischen Mathematik. Um eine gewisse Anzahl an approximativen Eigenwerten und den zugehörigen Eigenvektoren zu erhalten werden für gewöhnlich iterative Verfahren benutzt.
Der Fokus dieses Projekts liegt dabei auf solchen iterativen Verfahren, die auf der Behandlung des Eigenwertproblems mit Newton artigen Methoden basieren. Dazu zählen, z.B., inverse- und Rayleigh-Quotienten-Iteration sowie die nah verwandten Jacobi-Davidson Verfahren.

Als Anwendung von besonderem Interesse untersuchen wir die Verwendung dieser Eigenwertalgorithmen in der Modellordnungsreduktion, was zur Berechnung von dominanten Polstellen von Übertragungsfunktionen linearer, zeit-invarianter Regelungssysteme führt. Diese dominanten Polstellen besitzen erheblichen Einfluß auf das Eingangs-Ausgang Verhalten des Systems und produzieren darüberhinaus klar erkennbare Peaks im Bode plot der Übertragungsfunktion, wie es auf den untenstehenden Bildern gezeigt ist.

Drei- und zweidimensionaler Blick auf die Spektralnorm der Übertragungsfunktion mit hervorgehobenen dominanten Eigenwerten.


Die folgenden Problemstellungen werden insbesondere untersucht:
  • Erweiterung und Anpassung existierender Verfahren auf nichtlineare Eigenwertprobleme, wobei der Schwerpunkt auf Algorithmen basierend auf dem zwei-seitigen und verallgemeinerten Jacobi-Davidson und verwandten Verfahren liegt.
  • Ausnutzung der Struktur bestimmter Klassen von nichtlineare Eigenwertproblem, z. B., polynomielle, rationelle, und Delay Eigenwertprobleme, da diese häufig in der Modelordnungsreduktion auftreten.
  • Effizienzsteigerung, sowohl im linearen als auch im nichtlinearen Fall, durch die inexakte Lösung der auftretenden linearen Gleichungssysteme mittels Krylov-Unterraum-Verfahren. Das beinhaltet auch die Ermittlung und Anwendung geeigneter Vorkonditionierer.
  • Anwendung dieser Eigenwertalgorithmen auf nichtlineare Eigenwertprobleme die in Naturwissenschaften außerhalb der Modellordnungsreduktion, z. B. Mechanik, Chemie, etc., auftreten.




Veröffentlichungen: